Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán về phương trình lượng giác. Đây là một dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức biến đổi, cách giải phương trình lượng giác cơ bản và đặc biệt là không được quên điều kiện xác định của phương trình.

Chúng ta có phương trình sau:

\(\frac{sin 2x – sin x}{cos x + 1}=0 (*)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét tính đúng sai của các mệnh đề a, b, c, d.

Phân tích và giải phương trình (*)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Phương trình có mẫu số là \(cos x + 1\). Để phương trình xác định, mẫu số phải khác 0.

\(cos x + 1 \neq 0\)

\(cos x \neq -1\)

Giá trị \(cos x = -1\) khi \(x = \pi + k2\pi, k \in Z\).

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \neq \pi + k2\pi, k \in Z\).

Bước 2: Giải phương trình tử số

Để phương trình \(\frac{sin 2x – sin x}{cos x + 1}=0\) có nghiệm thì tử số phải bằng 0 (sau khi đã xét điều kiện xác định).

\(sin 2x – sin x = 0\)

Sử dụng công thức nhân đôi \(sin 2x = 2 sin x cos x\), ta có:

\(2 sin x cos x – sin x = 0\)

Đặt \(sin x\) làm nhân tử chung:

\(sin x (2 cos x – 1) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(sin x = 0\)

\(x = k\pi, k \in Z\)

Trường hợp 2: \(2 cos x – 1 = 0\)

\(2 cos x = 1\)

\(cos x = \frac{1}{2}\)

Từ đây, ta có hai họ nghiệm:

\(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in Z\)

\(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in Z\)

Bước 3: Kết hợp nghiệm với điều kiện xác định

Chúng ta phải loại bỏ các nghiệm làm cho \(cos x = -1\), tức là \(x = \pi + k2\pi, k \in Z\).

Xét các nghiệm từ Trường hợp 1: \(x = k\pi, k \in Z\)

Nếu \(k\) là số chẵn, \(k=2m\), thì \(x = 2m\pi\). Với các giá trị này, \(cos x = cos(2m\pi) = 1 \neq -1\). Vậy, \(x = 2m\pi\) là nghiệm hợp lệ.

Nếu \(k\) là số lẻ, \(k=2m+1\), thì \(x = (2m+1)\pi\). Với các giá trị này, \(cos x = cos((2m+1)\pi) = -1\). Các giá trị này trùng với điều kiện xác định, nên phải loại bỏ. Cụ thể, \(x=\pi, x=3\pi, \dots\) không phải là nghiệm.

Vậy, từ \(sin x = 0\), các nghiệm hợp lệ là \(x = 2k\pi, k \in Z\).

Xét các nghiệm từ Trường hợp 2: \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) và \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\)

Với các nghiệm này, \(cos x = \frac{1}{2}\). Giá trị \(\frac{1}{2} \neq -1\), nên tất cả các nghiệm này đều hợp lệ.

Tóm lại, các họ nghiệm của phương trình là:

\(x = 2k\pi, k \in Z\)

\(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in Z\)

\(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in Z\)

(Hoặc có thể viết \(x = \frac{5\pi}{3} + k2\pi\) thay cho \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\), để tiện xét nghiệm dương).

Bây giờ chúng ta sẽ đi xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

a) Điều kiện xác định của phương trình \(x\neq\pi+k2\pi, k∈Z\)

Như chúng ta đã phân tích ở Bước 1, điều kiện để mẫu số \(cos x + 1 \neq 0\) là \(cos x \neq -1\), tức là \(x \neq \pi + k2\pi, k \in Z\).

Vậy, mệnh đề a) là ĐÚNG.

b) Phương trình có nghiệm \(x = \pi\).

Nếu \(x = \pi\), thì \(cos x = cos \pi = -1\). Giá trị này vi phạm điều kiện xác định của phương trình (làm cho mẫu số bằng 0).

Do đó, \(x = \pi\) không phải là nghiệm của phương trình.

Vậy, mệnh đề b) là SAI.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi}{3}\).

Chúng ta sẽ liệt kê các nghiệm dương từ các họ nghiệm đã tìm được:

• Từ \(x = 2k\pi\):
  • Với \(k=0\), \(x=0\) (không phải nghiệm dương).
  • Với \(k=1\), \(x=2\pi\).
• Từ \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\):
  • Với \(k=0\), \(x = \frac{\pi}{3}\).
  • Với \(k=1\), \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}\).
• Từ \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\):
  • Với \(k=0\), \(x = -\frac{\pi}{3}\) (không phải nghiệm dương).
  • Với \(k=1\), \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\).

Các nghiệm dương của phương trình là: \(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi, \frac{7\pi}{3}, \dots\)

So sánh các giá trị này, ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất là \(\frac{\pi}{3}\).

Vậy, mệnh đề c) là ĐÚNG.

d) Số nghiệm của phương trình trên đoạn \([0; 2\pi]\) là \(5\).

Chúng ta sẽ tìm các nghiệm thuộc đoạn \([0; 2\pi]\) từ các họ nghiệm và kiểm tra điều kiện xác định \(x \neq \pi\).

• Từ \(x = 2k\pi\):
  • Với \(k=0\), \(x=0\). (Thỏa mãn \([0; 2\pi]\) và \(x \neq \pi\)).
  • Với \(k=1\), \(x=2\pi\). (Thỏa mãn \([0; 2\pi]\) và \(x \neq \pi\)).
• Từ \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\):
  • Với \(k=0\), \(x = \frac{\pi}{3}\). (Thỏa mãn \([0; 2\pi]\) và \(x \neq \pi\)).
• Từ \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\):
  • Với \(k=1\), \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\). (Thỏa mãn \([0; 2\pi]\) và \(x \neq \pi\)).

Các nghiệm tìm được trên đoạn \([0; 2\pi]\) là: \(0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\).

Có tất cả 4 nghiệm. Mệnh đề nói rằng có 5 nghiệm.

Vậy, mệnh đề d) là SAI.

Kết luận:

• Mệnh đề a) là ĐÚNG.
• Mệnh đề b) là SAI.
• Mệnh đề c) là ĐÚNG.
• Mệnh đề d) là SAI.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải phương trình lượng giác và cẩn thận hơn với các điều kiện xác định nhé!