Chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết.

a) Mệnh đề: \(x=\frac{π}{3}\) là một nghiệm của phương trình \(sin x=\frac{1}{3}\)

Phân tích:
Để kiểm tra xem \(x=\frac{π}{3}\) có phải là nghiệm của phương trình \(sin x=\frac{1}{3}\) hay không, chúng ta chỉ cần thay giá trị \(x=\frac{π}{3}\) vào phương trình và kiểm tra xem đẳng thức có đúng không.

Khi thay \(x=\frac{π}{3}\) vào phương trình, ta có:

\(sin(\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bây giờ, chúng ta so sánh giá trị này với \(\frac{1}{3}\).
Ta thấy \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866\).
Trong khi đó, \(\frac{1}{3} \approx 0.333\).

Rõ ràng là \(\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{3}\).

Kết luận: Mệnh đề a) là Sai.

b) Mệnh đề: Với mọi \(m∈R\) thì phương trình \(tan x = m\) luôn có nghiệm.

Phân tích:
Chúng ta hãy nhớ lại về tập giá trị (miền giá trị) của hàm số \(y = tan x\).
Hàm số \(y = tan x\) có tập xác định là \(R \setminus \{ \frac{π}{2} + kπ \mid k \in Z \}\), và tập giá trị của nó là toàn bộ tập số thực \(R\). Điều này có nghĩa là, với bất kỳ giá trị thực \(m\) nào, luôn tồn tại một góc \(x\) sao cho \(tan x = m\).

Cụ thể, nghiệm tổng quát của phương trình \(tan x = m\) là \(x = arctan(m) + kπ\), với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.

Kết luận: Mệnh đề b) là Đúng.

c) Mệnh đề: Phương trình \(sin 2x = 2m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-2\leq m\leq1\)

Phân tích:
Để phương trình \(sin u = A\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \(-1 \leq A \leq 1\).
Trong trường hợp này, \(u = 2x\) và \(A = 2m + 1\).

Vậy, để phương trình \(sin 2x = 2m + 1\) có nghiệm, ta phải có:

\(-1 \leq 2m + 1 \leq 1\)

Bây giờ chúng ta sẽ giải bất phương trình kép này để tìm điều kiện của \(m\):
Trừ 1 ở cả ba vế của bất phương trình:

\(-1 – 1 \leq 2m + 1 – 1 \leq 1 – 1\)

\(-2 \leq 2m \leq 0\)

Chia cả ba vế cho 2:

\(\frac{-2}{2} \leq \frac{2m}{2} \leq \frac{0}{2}\)

\(-1 \leq m \leq 0\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(-1 \leq m \leq 0\).
Mệnh đề đưa ra điều kiện là \(-2 \leq m \leq 1\), điều này không khớp với kết quả của chúng ta.

Kết luận: Mệnh đề c) là Sai.

d) Mệnh đề: Tổng các nghiệm của phương trình \(cotx=\sqrt{3}\) trên đoạn \([-π;π]\) là \(0\).

Phân tích:
Đầu tiên, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình \(cotx=\sqrt{3}\).

Ta biết rằng \(cot(\frac{π}{6}) = \sqrt{3}\).
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là: \(x = \frac{π}{6} + kπ\), với \(k \in Z\).

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm các nghiệm thuộc đoạn \([-π;π]\).

• Với \(k = 0\): \(x = \frac{π}{6} + 0 \cdot π = \frac{π}{6}\). Giá trị này thuộc đoạn \([-π;π]\).
• Với \(k = 1\): \(x = \frac{π}{6} + 1 \cdot π = \frac{7π}{6}\). Giá trị này lớn hơn \(π\), nên không thuộc đoạn \([-π;π]\).
• Với \(k = -1\): \(x = \frac{π}{6} – 1 \cdot π = \frac{π – 6π}{6} = -\frac{5π}{6}\). Giá trị này thuộc đoạn \([-π;π]\).
• Với \(k = -2\): \(x = \frac{π}{6} – 2 \cdot π = \frac{π – 12π}{6} = -\frac{11π}{6}\). Giá trị này nhỏ hơn \(-π\), nên không thuộc đoạn \([-π;π]\).

Vậy, các nghiệm của phương trình trên đoạn \([-π;π]\) là \(x_1 = \frac{π}{6}\) và \(x_2 = -\frac{5π}{6}\).

Bây giờ, chúng ta tính tổng các nghiệm này:

Tổng \(S = x_1 + x_2 = \frac{π}{6} + (-\frac{5π}{6}) = \frac{π – 5π}{6} = \frac{-4π}{6} = -\frac{2π}{3}\).

Mệnh đề nói rằng tổng các nghiệm là \(0\), nhưng kết quả của chúng ta là \(-\frac{2π}{3}\).

Kết luận: Mệnh đề d) là Sai.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến phương trình lượng giác. Chúc các em học tốt!