Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến \(x\) và \(y\):

\((x+y+2)^3-(x+y-2)^3-12(x+y)^2\)

Để giải quyết bài toán này một cách gọn gàng và hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến phụ (hay đổi biến) và áp dụng các hằng đẳng thức đã học nhé.

Bước 1: Đặt biến phụ để đơn giản hóa biểu thức

Các em có thể thấy rằng biểu thức có chứa cụm \((x+y)\) xuất hiện nhiều lần. Để bài toán trở nên dễ nhìn và dễ tính toán hơn, thầy sẽ đặt:

\(A = x+y\)

Khi đó, biểu thức ban đầu của chúng ta sẽ trở thành:

\((A+2)^3 – (A-2)^3 – 12A^2\)

Bước 2: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Chúng ta cần khai triển \((A+2)^3\) và \((A-2)^3\) bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu:

• Lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
• Lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

Áp dụng vào từng phần của biểu thức:

\((A+2)^3 = A^3 + 3 \cdot A^2 \cdot 2 + 3 \cdot A \cdot 2^2 + 2^3\)

\(= A^3 + 6A^2 + 12A + 8\)

\((A-2)^3 = A^3 – 3 \cdot A^2 \cdot 2 + 3 \cdot A \cdot 2^2 – 2^3\)

\(= A^3 – 6A^2 + 12A – 8\)

Bước 3: Thực hiện phép trừ giữa hai biểu thức lập phương

Bây giờ chúng ta sẽ lấy \((A+2)^3\) trừ đi \((A-2)^3\):

\((A+2)^3 – (A-2)^3 = (A^3 + 6A^2 + 12A + 8) – (A^3 – 6A^2 + 12A – 8)\)

Khi bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc thứ hai, chúng ta được:

\(= A^3 + 6A^2 + 12A + 8 – A^3 + 6A^2 – 12A + 8\)

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Hãy nhóm các hạng tử đồng dạng và cộng trừ chúng lại:

• Các hạng tử chứa \(A^3\): \(A^3 – A^3 = 0\)
• Các hạng tử chứa \(A^2\): \(6A^2 + 6A^2 = 12A^2\)
• Các hạng tử chứa \(A\): \(12A – 12A = 0\)
• Các hằng số: \(8 + 8 = 16\)

Vậy, \((A+2)^3 – (A-2)^3 = 12A^2 + 16\)

Bước 5: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu và kết luận

Chúng ta thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu đã được đặt biến phụ:

Biểu thức \(= (A+2)^3 – (A-2)^3 – 12A^2\)

\(= (12A^2 + 16) – 12A^2\)

\(= 12A^2 + 16 – 12A^2\)

\(= 16\)

Các em thấy đấy, sau khi rút gọn, biểu thức của chúng ta đã trở thành một hằng số là \(16\). Hằng số này không chứa bất kỳ biến số nào (\(x\), \(y\) hay \(A\)).

Kết luận: Vậy, giá trị của biểu thức \((x+y+2)^3-(x+y-2)^3-12(x+y)^2\) luôn bằng \(16\), bất kể giá trị của \(x\) và \(y\) là bao nhiêu. Điều này chứng tỏ rằng biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và \(y\).

Bài toán này giúp các em ôn lại và củng cố kiến thức về hằng đẳng thức, đồng thời rèn luyện kỹ năng đặt biến phụ để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!